Matematica

Pubblicazione del mio lavoro su Matematicamente Magazine – Numero 3 – Luglio 2007 – indice – http://www.matematicamente.it/rivista-il-magazine/numero-3-luglio-2007/ Pubblicazione: (41). Percorso alternativo per la ricerca dei numeri primi  e per la fattorizzazione – di Maria Teresa Sica – link utili sull’argomento: http://www.matematicamente.it

News: SINTESI AL 2007 AGGIORNAMENTI

NUMERI PRIMI E FATTORIZZAZIONE

Percorso alternativo per la ricerca dei numeri primi e per la fattorizzazione.

Verso la fine di Luglio 2005 ho comprato una rivista incuriosita, più che altro, da un inserto informativo sugli extraterrestri, sfogliando la rivista mi ha incuriosita un articoletto brevissimo, che accennava alla congettura di Riemann sui numeri primi. Ho cercato informazioni su tale congettura in internet, e quello che più mi ha colpita era il fatto che non esistesse una cadenza nella distribuzione dei numeri suddetti. Così mi sono lanciata alla ricerca di una regolarità, ho cominciato a giocare con i numeri sulle mie dita ed ho trovato alcuni intervalli che parevano ripetersi, allora ho creato una tabella, e ne è venuta fuori la tabella 1, illustrata in seguito.

Sulla base di questa classificazione, ho poi estrapolato una formula (algoritmo), per lasciare evidenti tutti i numeri primi all’infinito e calcolare anche tutti i fattori che costituiscono i numeri non primi. La ricerca si effettua solo su su una porzione della totalità dei numeri, ed il calcolo si fa ricorrendo a cifre nettamente inferiori rispetto a quelle indagate. Il sistema è infallibile: non dà mai errore.

Per un pò ho creduto di aver trovato qualcosa di magico, ed ironizzando con me stessa pensavo di dover essere grata agli extraterrestri, sia per quello che avevo trovato, sia per l’emozione che avevo vissuto mentre, andando avanti con lo studio, ottenevo sempre più spesso verifiche e riscontri positivi.

Purtroppo, però, quello spiegato di seguito è un sistema né tanto nuovo né tanto pratico:

• può essere considerato un “estratto” del crivello di Eratostene;
• la cadenza non è pura in quanto vi si posizionano dei numeri non primi;
• il calcolo per la fattorizzazione necessita di tabelle la cui costruzione richiede molto tempo e, per i numeri grandi, molto spazio.

In sostanza questo metodo rappresenta un percorso alternativo utile per la ricerca dei numeri primi e dei fattori primi di un numero.

Ringrazio coloro che mi hanno dato fiducia, pur essendo al corrente che la ricerca matematica non è il mio lavoro:
prima di tutti Massimo, che ha creduto in me e nei miei risultati, mi ha sostenuta ed incoraggiata a continuare lo studio e, soprattutto, appassionandosi allo studio insieme a me, ci ha dedicato tempo e notti, e mi ha aiutata ad individuare la relazione esistente tra un numero ed il numero di rigo da lui occupato ed il rigo del suo multiplo nelle colonne; poi zio Salvo, Lello, Paolo e Fabio, che si sono interessati e mi hanno indirizzata a luoghi e persone competenti; poi Emma, che ha cercato di seguirmi e mi ha creato contatti interessanti, come pure ha fatto Mariella.
Ringrazio poi due grandi Professori, il primo mi ha ricevuta e ed ha premuto perché considerassi la facoltà di Matematica, invitandomi a non disperdere la mia inclinazione e a mantenere viva la mia passione; il secondo mi ha descritto tutte le pecche del lavoro nei minimi particolari. Entrambi mi hanno dedicato il loro prezioso tempo, mostrandosi tanto GRANDI quanto UMILI, e meritevoli di infinita STIMA.
Ringrazio sia il Direttore dell’unica rivista sia il Professore dell’unico Dipartimento Italiano di Matematica che hanno considerato il mio lavoro e mi hanno inviato una cortese risposta.
Infine ringrazio tutti coloro che, incuriositi dai miei post in internet, mi hanno scritto chiedendo delucidazioni.

Consapevole dei limiti del mio studio, ne riporto di seguito i contenuti, sperando anche di trovare qualcuno disposto a farmelo pubblicare, sia per soddisfazione personale, sia perché, considerato il fatto che è comunque un percorso nuovo e diverso da quelli noti, esiste sempre la speranza che magari tale percorso possa un giorno risultare utile a qualcuno, o come spunto per approfondimenti, oppure anche, chissà, magari per il progresso scientifico! Prima però voglio aggiungere cosa ho imparato da questa esperienza: quando si crede in qualcosa bisogna andare fino in fondo e, se il risultato tradisce l’aspettativa, rimane comunque la soddisfazione di averci lavorato, autonomamente ed indipendentemente da ogni cosa: una formica può sempre vedere quello che non riesce a vedere un elefante, le prospettive possono essere infinite, però studiare è sempre necessario.

AUTORE
SICA MARIATERESA
e-mail: aseretairam@tin.it

Teoria della presenza di cadenza nella distribuzione dei numeri primi.

nuovo titolo
Percorso alternativo sulla ricerca dei numeri primi e sulla fattorizzazione.

SUNTO
Con una semplice e particolare numerazione, vengono evidenziate due colonne, la C5 e la C7 dove si allineano tutti i numeri primi. Nelle stesse colonne capitano anche alcuni multipli. Viene messa in evidenza l’importanza della posizione di rigo occupata da ogni numero e si illustrano i calcoli per ricavare ed eliminare i multipli, sia che si operi riferendosi ai righi, sia che si operi riferendosi ai numeri.
Si richiama l’attenzione sulla “tabella 1” per osservazioni sulle diverse congetture sui numeri primi.

ABSTRACT
With a simple and particular numeration, they come evidenced two columns, the C5 and the C7 where all the prime numbers are aligned. In the same columns captain also some multiples. It comes put in evidence the importance of the occupied position of line from every number and the calculations are acquired knowledge in order to gain the multiples, are that works referring to the line, are that works referring to the numbers.
The attention is recalled on “table 1” for observations on the various conjectures on the prime numbers.

CLASSIFICAZIONE AMS: 11A51 – 40B05

PAROLE CHIAVE: ripartizione – gruppo – progressione –

INTRODUZIONE
Questo studio può essere interessante sia al fine della ricerca dei numeri primi e della fattorizzazione, per i quali è stato concepito, sia, considerando il tipo di distribuzione numerica (tabella 1), a fini di ricerca e per applicazioni. Le tabelle di riferimento sono solo per la dimostrazione, e quindi comprendono numeri fino al rigo 66.
STUDIO
Nella “tabella 1” ho distribuito i numeri secondo un particolare criterio, cioè nella prima riga ho numerato in ordine fino al 10, dalla seconda riga la numerazione l’ho continuata partendo dalla colonna del 5 e, arrivata al 10, sono passata alla terza riga. Ho continuato così, numerando per 6 di riga in riga. In questo modo ho determinato una cadenza nella distribuzione dei numeri primi.
Come si può osservare, infatti, suddetti numeri cadono sempre in linea con le colonne sotto i numeri 5 o 7, mentre tutti i numeri che cadono sotto le colonne dei numeri 6, 8, 9 e 10 non lo sono mai, poiché sono tutti numeri pari o multipli di 3.
Ho verificato che, preso in esame un qualsiasi numero N, sottraendo un multiplo di 6 fino ad arrivare ad un risultato compreso tra 5 e 10, posso ottenere la posizione della colonna occupata nella numerazione dal suddetto numero N; infatti il risultato ottenuto rivelerà la postazione di colonna occupata da quel numero N, che si troverà posizionato proprio nella colonna del risultato ottenuto, per cui se il risultato è 6, 8, 9 o 10 certamente non si tratta di un numero primo, se invece il risultato è 5 o 7 è probabile che o sia. Parlo di probabilità poiché in tali colonne, come si può osservare sempre nel foglio “tabella”, cadono anche numeri non primi; necessita quindi un ulteriore calcolo per la verifica.
Allo stesso modo, per la formula inversa, per ottenere un numero primo basta moltiplicare un qualunque numero N per 6, ed aggiungere al risultato 5 o 7. Dopo, però, serve comunque il calcolo ulteriore per la verifica.
Ho verificato che esiste anche un calcolo valido per ottenere la riga di posizione occupata nella numerazione: preso un numero N si sottrae 4, quindi si divide il risultato per 6; al risultato ottenuto basta aggiungere 1 alla porzione di intero (i decimali non vano considerati). Conoscere la riga di posizione è utile per i calcoli ulteriori necessari per la verifica.
In questo tipo di numerazione dopo il numero 100 si ripetono blocchi di 300 sempre uguali per la posizione delle decine e delle unità; inoltre a parte i primi 100 numeri, che si distribuiscono su 16 righi, i successivi blocchi di 300 comprendono sempre 50 righi, si verifica quindi che le posizioni dei righi si alternano nei blocchi in sequenze ordinate: nel blocco 101-300 i righi vanno dal 17 al 66, nel blocco 401-700 i righi vanno dal 67 al 116, nel successivo blocco, dal 701 al 1000 i righi vanno dal 117 al 166, nel blocco 1001-1300 i righi di posizione andranno dal 167 al 216, e ne blocco successivo 1301-1600 i righi occupati andranno dal 217 al 266.
Nella “tabella 2” ci sono alcune cadenze di blocchi e righi corrispondenti. Come si può osservare, la numerazione dei righi nei blocchi si ripete con una cadenza ordinata; è interessante notare che ogni blocco fisso può essere formato da una particolare sequenza di numeri del rigo.
Questo è utile per conoscere quali numeri occupano un rigo, poiché si può facilmente risalire al blocco occupato da un determinato rigo e quindi ai cinque numeri compresi in quel rigo indagato: solo due di quei numeri saranno probabili numeri primi. Il calcolo di riferimento è descritto in dettaglio nella “tabella 2” di cui sopra. La posizione dei righi nei blocchi, inoltre, è utile anche per escludere i numeri non primi nei blocchi indagati.
Nella “tabella 3” è illustrato un blocco fisso, cioè una tabella che può essere utilizzata per ogni blocco di indagine. Sulla sinistra ci sono, in due colonne, due sequenze numeriche: sono le due sequenze (solo fino alle centinaia semplici) di numero di righi che si alternano nei blocchi. In questa tabella ho evidenziato le colonne 5 e 7 e le righe dei multipli di 5, facilmente individuabili senza necessità di calcolo.
Per escludere i numeri non primi presenti nelle colonne 5 e 7 esiste un calcolo ulteriore, ma c’è anche una differenza di principio a seconda se si opera nella colonna del 5 o del 7.
In entrambe le colonne i multipli dei numeri primi sono posizionati con armonia, e quindi sono facilmente escludibili. Infatti essi hanno una cadenza pari al numero primo indagato, per cui ce ne sarà uno ogni 5 righi per i multipli di 5, 1 ogni 7 righi per i multipli di 7, uno ogni 11 righi per i multipli di 11, e così via. Il problema quindi sta nell’individuare il rigo di partenza.
Considerando la posizione del rigo, per i numeri primi che si trovano nelle due proprie colonne (colonne dirette) il rigo di partenza è il rigo di posizione nella colonna dove esso è posizionato, per cui la formula di riferimento per calcolare il numero di rigo dove si trovano i multipli nelle colonne di appartenenza è:

(r np) + np= x; x + np=xx; xx + np=xxx; …. (1)

dove “r” = rigo ed “np” = numero primo. Continuando all’infinto, il risultato sarà sempre il numero del rigo dove è posizionato il multiplo del np considerato.
Per trovare il rigo di partenza di un multiplo nella colonna 5 di un numero primo presente rispettivamente nella colonna 7 oppure nella colonna 7 di un numero primo nella colonna 5 ( colonne incrociate) la formula di riferimento è:

(np – r np)=y; y + np= yy; yy + np = yyy; ….. (2)

dove “r” = rigo ed “np” = numero primo. Al risultato della formula, aggiungendo il np considerato, si ottiene sempre un numero di rigo occupato dal suo multiplo.
Nelle tabelle “C5 su C7” , “C7 su C5”, “C5 su C5”, “C7 su C7”, sono indicate le formule ed i risultati delle stesse. In ognuna di queste quattro tabelle è evidenziata la formula per ottenere il numero di rigo occupato dai multipli rispettivamente dei numeri primi della C5 sulla C7, dei numeri primi della C7 sulla C5, dei numeri primi della C5 sulla C5 e dei numeri primi della C7 sulla C7; su tali righi, quindi, sono presenti i multipli nella colonna specificata del numero primo presente nella colonna indagata.
Il risultato compare sul rigo in corrispondenza del numero primo indagato ed equivale al rigo dove si trova il multiplo.
Utilizzando queste tabelle si può verificare se un numero indagato è primo oppure quali sono i fattori primi che lo costituiscono, poiché considerando il numero di rigo e la colonna occupati da un numero indagato, si può ricercare nelle due tabelle della colonna corrispondente il numero di rigo: se manca il numero è primo, se c’è si trova sul rigo del numero primo che ne è fattore.

Esiste un altro calcolo per trovare i numeri dei righi occupati dai multipli, una strada diversa che porta allo stesso risultato, per ottenere cioè le quattro tabelle di ricerca:
si considera un blocco 300, ad esempio quello che comprende i numeri dal 1001-1300, e che quindi si estende dal rigo 167 al 216; quindi nelle tabelle dirette (C5suC5 e C7suC7) per trovare il primo risultato nella serie bisogna addizionare l’unità + il numero del rigo + una cifra variabile che può essere 0, 10, 20,…100, 110, 120…1000, 1100, 1110… a seconda se il numero indagato è ad una, due, tre, quattro cifre, e da quale decina, centinaia, migliaia è composto. Perciò per il numero 1001 che è al rigo 167 il calcolo sarà: 1+167+1000 cui risulta 1168 che sarà il numero del rigo di un multiplo; per il numero 1091 posto al rigo 182: 1+182+1090; per il numero 1093, posto al rigo 182: 3+182+1090. Per ottenere il primo risultato delle tabelle di ricerca incrociate (C5suC7 e C7suC5), il calcolo necessario è:(unità – rigo) + numero + una cifra variabile che può essere 0, 10, 20,…100, 110, 120…1000, 1100, 1110… a seconda se il numero indagato è ad una, due, tre, quattro cifre, e da quale decina, centinaia, migliaia è composto. Perciò per il numero 1001 (1-167)+1001+1000; per il 1091: (1-182)+1091+1090. Queste operazioni sono una strada diversa per ottenere il primo numero della serie di ogni tabella di ricerca, al risultato, come visto in percedenza bisogna poi aggiungere il numero che si sta considerando per ottenere tutti i numeri dei righi in serie.

Se invece di parlare di righi si parla di numeri, per cancellare i multipli presenti sulla C5 si può calcolare

N1 X N2 (3)

dove N1 è il numero primo indagato presente nella C7 ed N2 è il numero presente nella C5 nel rigo immediatamente successivo; oppure

N1x N2 (4)

dove N1 può essere un numero della colonna 5 ed N2 il numero della colonna 5 presente sulla stessa riga: il risultato di questi ultimi due calcoli cade nella colonna 5, e sarà in una riga posizionata abbastanza oltre il numero N1, in questo modo si può spostare il rigo di partenza e può essere utile se i numeri che precedono non sono oggetto di indagine.
Per cancellare i multipli presenti sulla C7 si può anche moltiplicare

N1xN1 (5)

cioè un numero primo per se stesso; il numero primo indagato per se stesso: il risultato utile cadrà nella colonna 7 e potrà essere considerato quale rigo di partenza per la cadenza delle esclusioni.
Nei calcoli N1 x N2 si possono anche prendere tutti i numeri delle due colonne, anche i non primi, quindi per la colonna 5:

N1 x N2= 7 x 11; 13 x 17, 19 x 23, 25 x 29, 31 x 35, …. (6)

oppure

N1 x N2= 5 x 7, 11 x 13, 17 x 19, 23 x 25, …. (7)

Il risultato sarà sempre un numero del quale, dalla posizione del rigo se ne può individuare il fattore.
In definitiva risultano multipli per le colonne dirette (multipli sulla C5 di np della C5 e multipli sulla C7 di np della c7) i risultati di

np x N1 (8)

dove N1 è un qualsiasi numero della C7; invece per le colonne incrociate (multipli sulla C5 di np della C7 e multipli sulla C7 di np della C5) i risultati di

np x N2 (9)

dove N2 è un qualsiasi numero delle C5.
Saranno quindi sempre posizionati nelle due colonne, in base a quanto riportato, risultati di moltiplicazioni con moltiplicatori indicati nelle colonne stesse, vale a dire moltiplicatori che partendo da 1 o da 5, si ottengono con salti di 6 (1, 7, 19, 25, e poi 31, 37, 43, 49, 55… oppure 5, 11, 23, 29, e poi 35, 41, 43, 49….). Si possono perciò ricavare moltiplicatori anche a grandi cifre ed ottenere i grandi multipli che devono essere cancellati dalle colonne e costituiscono rigo di partenza per le eliminazioni.
Allego la “tabella 4” dove ho evidenziato alcuni righi di partenza per alcuni numeri primi della C5 e della C7 e le sequenze che poi si ripetono per ciascuna colonna. Queste informazioni possono essere utili quando si lavora su grandi numeri (con elevato numero di cifre).
È inoltre interessante notare, andando avanti nei blocchi, la posizione che assume ogni volta il primo rigo di un multiplo in un blocco rispetto alla posizione assunta nei precedenti blocchi.
Lavorando sui righi, piuttosto che sui numeri indagati, si opera con cifre più piccole, quindi la ricerca risulta accelerata.
Per indagini in sequenza, è necessario calcolare la radice quadrata del numero indagato, come nel crivello di Eratostene (del quale questo lavoro risulta essere un’esemplificazione poiché l’indagine viene ridotta al 33,3% della totalità dei numeri), il risultato indica fino a quale numero primo bisogna portare avanti la ricerca.

APPLICAZIONE PRATICA

Esempio numero 1:
Preso un numero, ad esempio 1179349, si calcolano colonna e rigo di posizione; questo numero si trova in C7 al rigo 196558.
Si effettua una ricerca del valore 196558 nelle due tabelle C7, se è presente una somma in C7 si deve continuare ad indagare il numero presente nella C5 al rigo rispettivo della somma (poiché la tabella C7 determina i multipli incrociati), se invece la somma è presente in C7(2) bisogna indagare il numero trovato nella C7 al rigo rispettivo della somma (poiché la C7(2) determina i multipli diretti). In questo caso la somma si trova in C7(2) ed è determinata dal numero 62071 che sta in C7 al rigo 10345. Si continua perciò la ricerca del rigo (il numero 10345) nelle due colonne del 7. Non risultano somme, perciò il numero 62071 è primo, inoltre dividendo il numero di partenza 1179349 per 62071 ne risulta 19, che pure è primo: si sono trovati i due fattori che costituiscono il numero di partenza.

Esempio numero 2:
preso un numero, ad esempio 1179331, si calcolano colonna e rigo di posizione; questo numero si trova in C7 al rigo 196555.
Si effettua una ricerca del valore 196555 nelle due tabelle C7. Non risultano somme, perciò il numero indagato è primo.

Esempio numero 3:
Preso un numero, ad esempio 1179347, si calcolano colonna e rigo di posizione; questo numero si trova in C5 al rigo 196558. Si effettua una ricerca del valore 196558 nelle due tabelle C5. In questo caso la somma si trova nella tabella C5 che raccoglie i multipli dei numeri della C7 (multipli incrociati), quindi il numero da continuare ad indagare è quello che si trova al rigo della somma in C7, e cioè 14209. Questo numero si trova in C7 al rigo 2368. Si continua la ricerca del numero 2368 nelle due tabelle C7. La somma è presente in C7(2), che riporta i multipli delle colonne dirette. La somma 2368 risulta dal numero 1093, che sta al rigo 182. Bisogna adesso cercare 182 nelle due colonne C7. Non compare nessuna somma che dà 182, quindi il numero 1093 è primo ed è fattore di 1179331, infatti dividendo i due numeri risulta 1079. Posso vedere se quest’ultimo numero è o non è primo. Si trova in C5 al rigo 180, quindi cerco 180 nelle due tabelle della C5. Il valore si trova nella tabella C5, quella cioè che riporta i multipli incrociati. Al rigo della somma in C5 c’è 13, che è primo. 1079 diviso 13 fa 83, che è primo. 13 ed 83 sono i fattori più piccoli di 1179347.

Esempio numero 4:
Preso un numero, ad esempio 1179341, si calcolano colonna e rigo di posizione; questo numero si trova in C5 al rigo 196557. Si effettua una ricerca del valore 196557 nelle due tabelle C5. La somma risulta nella tabella C5, il numero da prendere in considerazione è perciò 69373, che si trova in C7 al rigo 11562. Si cerca questo valore (11562) nelle tabelle della C7. Risulterebbe nella tabella C7 al rigo 67; quindi il numero da considerare è 401, che sta nella C5. Si cerca il 67 nelle tabelle C5. Non risulta, infatti 401 è primo. Dividendo 69373:401 risulta 173, numero che si trova in C5 al rigo 29. Quest’ultimo (29) non risulta da nessuna somma nelle tabelle C5, infatti 173 è primo. Il numero indagato è dato anche dalla moltiplicazione 69373 x 17 (ottenuto dalla divisione inversa), si deduce che 17, 173 e 401 sono i fattori primi di 1179341.

Nella corso della mia ricerca ho impostato un programma dove però, per la numerazione totale, mi sono fermata, in un tabellone2 (che è lo sviluppo della “tabella1” riportata in origine) al numero 393.160 (rigo 131023); mentre per i risultati delle somme nelle quattro tabelle di ricerca – C5, C7, C5(2), C7(2) – che riportano i righi dove sono situati certamente numeri multipli, ho proseguito nella C5 per 46 salti, nella C7 per 27 salti, nella C5(2)per 15 salti e nella C7(2) per 15 salti, dove i salti sono appunto i risultati delle formule evidenziate, arrivando così ad calcolare un elevato numero di righi “cancellabili” , ma, grazie all’esempio numero 4 ho constatato che tali tabelle vanno ampliate di alcuni valori (almeno 2 per la C7) anche in senso orizzontale.
Con un’impostazione di un programma, magari in basic, si possono determinare i numeri delle sole colonne 5 e 7, che rispondono sempre al numero della riga superiore + 6, e si può quindi creare una tabella1 più leggera, a tre sole colonne, (perché è necessaria la terza colonna che indiche i numeri dei righi). Ma l’importante è calcolare i righi dei multipli e quindi sviluppare le 4 tabelle C5, C7, C5(2), e C7(2). Impostando una tabella1, magari con i risultati che si cancellano automaticamente, potrebbe essere creata una tabella1 con i soli primi che restano evidenti. Se non fosse possibile crearne una unica, ne servirebbero due (cosa che ho fatto io): una per le indagini sulla colonna 5 (sia dirette che incrociate) e l’altra per le indagini sulla colonna 7.
Io non ho continuato il programma perché ho visto che funzionava, quello che interessa a me è la validità del sistema. Non voglio cercare numeri enormi, né i fattori dei multipli, mi basta sapere che questo sistema è valido e può contribuire al progresso ed alla ricerca matematica.

Esempi su numeri piccoli (sulle tabelle allegate):

Esempio numero 1:
Si vuole indagare il numero 389, posto in C5 al rigo 65; consulto le due tabelle C5: nella C5 su C5 non risulta la somma 65, e neppure risulta nella C7 su C5, perciò 389 è primo.

Esempio numero 2:
Si vuole indagare il numero 343, posto in C7 al rigo 57; consulto le due tabelle C7: nella C5 su C7 non risulta la somma 57; nella C7 su C7 la somma è presente al primo rigo ed all’ottavo rigo; dato che questa tabella indaga i numeri primi della colonna 7, vediamo che al primo rigo in C7 c’è il numero 7, che è primo, all’ottavo rigo in C7 c’è il numero 49. Quest’ultimo è al rigo 8, perciò cerco la somma 8 nelle tabelle C7. La somma 8 è presente nella tabella C7 su C7 al primo rigo, in corrispondenza del numero 7. Il numero 343 è multiplo di 7 e risulta da 73.

Esempio numero 3:
Si vuole indagare il numero 301, posto in C7 al rigo 50; consulto le due tabelle C7: nella C5 su C7 non risulta la somma 50; nella C7 su C7 la somma è presente al rigo 7 ed al rigo 1; dato che questa tabella indaga i numeri primi della C7, vedo al primo rigo c’è il 7, che è primo, al settimo c’è 43, anch’esso primo. I numeri 7 e 43 sono i fattori di 301.

CONCLUSIONI

Considerando che nei grandi numeri in sequenza, le prime cifre rimangono invariate mentre si possono considerare “variabili” le ultime tre con una rotazione fissa, ricorrendo ai blocchi di 300, alle colonne ed ai righi progressivi, si possono trovare numeri primi di grandi cifre ragionando soltanto su numeri a tre cifre.
Inoltre, vista la regolarità di sequenze e l’armonia, penso che questo lavoro (la tabella1) possa essere utilizzato con risultati interessanti anche per osservazioni sulle congetture dei numeri primi, ad esempio sulle coppie di numeri primi gemelli, in quanto risulta facilmente visibile l’intervallo tra i numeri primi presenti sulla C5 e sulla C7, e sulla congettura di Goldbach, in quanto prendendo in considerazione un numero pari e due intervalli di righi dove si possono evidenziare i numeri primi, si può verificare quale coppia di numeri primi dà come risultato il numero pari considerato.

08/10/2005
Maria Teresa Sica

CALCOLI ED ESEMPI

“tabella 1”
I numeri primi sono tutti nelle colonne 5 e 7:

I multipli di 5 in C5 sono ogni 5 righi,
I multipli di 11 in C5 sono ogni 11 righi, ….
I multipli di 7 in C7 sono ogni 7 righi,
I multipli di 13 in C7 sono ogni 13 righi, …
e
I multipli di 5 in C7 sono, partendo da 25 (risultato di 5 x 5) , ogni 5 righi,
I multipli di 11 in C7 sono, partendo da 121 (risultato di 11 x 11) , ogni 11 righi, ..
I multipli di 7 in C5 sono, partendo da 35 (risultato di 7 x 5) , ogni 7 righi,
I multipli di 13 in C5 sono, partendo da 65 (risultato di13 x 5) , ogni 13 righi, …

inoltre: 7 x 11 = 77 è multiplo di 7 in C5
13 x 17 = 221 è multiplo di 13 in C5
o : 5 x 7 = 35 è multiplo di 5 in C5
11 x 13 = 143 è multiplo di 11 in C5
e: 7 x 7 = 49 è multiplo di 7 in C7
13 x 13 = 169 è multiplo di 13 in C7

In definitiva: in C5 risultano multipli dei numeri in C7 x 11, x17, x 23, x 29, x 35,
x 41, x 47, x 53, …..
e dei numeri in C5 x 1, x 7, x 13, x 19, x 25,
x 31, x 37, x 43, …
in C7 risultano multipli dei numeri in C5 x 11, x 17, x 23, x 29, x 35,
x 41, x 47, x 53, …..
e dei numeri in C7 x 1, x 7, x 13, x 19, x 25,
x 31, x 37, x 43, …

ancora: calcolo dei righi dei multipli in C5 dei numeri in C7
e dei multipli in C7 dei numeri in C5

(numero – rigo) + numero = rigo del multiplo
(7-1)= 6 +7 = 13 +7 = 20 + 7= 27……nei righi 6, 13, 20, 27 …. in C5 ci sono i multipli del 7
(nella tab “C7 su C5” I numeri 35, 77, 119, 161 ….in C5 sono multipli di 7)
(13-2)= 11+13 = 24 +13 =37 +13 = 50 …. nei righi 11, 24, 37, 50 … in C5 ci sono i multipli del 13
(65, 143, 221, 299 …in C5 sono multipli di 13)

(5-1) = 4 +5= 9+5 = 14+5 = 19 …. nei righi 4, 9, 14, 19….. in C7 ci sono i multipli 5
(nella tab “C5 su C7” i numeri 25, 55, 85, 115 … in C7 sono multipli di 5)
(11-2) = 9 +11= 20 +11 = 31 …. Nei righi 9, 20, 31 …. in C7 ci sono i multipli di 11
(55, 121, 187 …in C7 sono multipli di 11)

E: calcolo dei righi dei multipli in C5 dei numeri in C5
e dei multipli in C7 dei numeri in C7

rigo del numero + numero = rigo del multiplo
1+5 = 6 + 5 = 11 + 5 = 16…. nei righi 6, 11, 16 … in C5 ci sono I multipli di 5
(nella tab “C5 su C5” I numeri 35, 65, 95 in C5 sono multipli di 5)
2+11=13 +11 = 24 +11 = 35…. nei righi 13, 24, 35 … in C5 ci sono multipli di 11
( 77, 143, 209 … in C5 sono multipli di 11)
1+7= 8+7 = 15 +7 = 22 + 7 =29… nei righi 8,15,22,29 … in C7 ci sono multipli di 7
(nella tab “C7 su C7” I numeri 49, 91, 133, 175 … in C7 sono multipli di 7)
2+13= 15 +13= 28 +13 = 41… nei righi 15, 28, 41 … in C7 ci sono multipli di 13
(91, 169, 247… in C7 sono multipli di 13)

Il calcolo si fa con il numero del rigo occupato dal numero cercato, quindi si fa con cifre molto più piccole, inoltre la ricerca riguarda percentuali minori della totalità dei numeri, perchè i numeri primi sono solo in C5 e C7.

Calcolo della colonna(C) e del rigo(R) di un numero, tab2:

77-72= 5 77 è in C5
[(77-4):6]+1= 13,…… 77 è in R13

163-152=1
1 non è compreso tra 5 e 10 : 1+6=7 163 è in C7
[(163-4):6]+1= 27,…… 163 è in R27

Calcolo di un numero probabilmente primo:
(qualunque numero x 6) + 5 = risultato in C5
(qualunque numero x 6) + 7 = risultato in C7

(43 x 6)+5= 263 è in C5
(43 x 6)+7= 265 è in C7

(35 x 6)+5= 215 è in C5
(35 x 6)+7= 217 è in C7

Ora:
217 è in C7 e R 36, perchè: [(217-4):6]+1= 36,… io cerco nelle tab C5suC7 and C7suC7.

36 = 1 +7+7+7+7+7; 217 è multiplo di 7 e 7 è fattore di 217
(36 risulta dal calcolo nella tab C7suC7 sul rigo 1, in questa tab in C7 in corrispondenza del rigo 1 c’è il numero 7)
inoltre 217:7 = 31;
31 è in C7 R 5 (31 -30 = 1 + 6 = 7 ; [(31-4):6]+1= 5,…)
5 non risulta nel calcolo dei righi (nelle tab C5suC7 and C7suC7); 5 nelle tabelle di ricerca C7suC7 è il rigo del 31: 31 is primary number;
7 e 31 sono fattori 217.

(risultato dei righi nelle tab C5suC5, C7suC5, C7suC7, C5suC7)

tab3
ogni 300 numeri, le posizioni delle unità sono ripetute con i numeri dei righi alternati.

Ancora:

Nella tab1 sono evidenti i numeri primi gemelli:
Nella distribuzione è visibile che è vero che ogni numero pari è la somma di due numeri primi, considerando un numero pari e due intervalli di righi:
116 = considero i righi 18-19 and 1-5: 109 +7
oppure 84 = considero i righi 12-14 and 1-5 : 73+11

Penso che questa distribuzione sia molto armonica e magica, e che abbia molto potenziale;
con le giuste regole impostate con un buon programma in basic è possible creare tabelle d’uso di riferimento. Io ho creato un piccolo programma in basic, ed ho estratto i numeri primi della C5 e della C7 in sequenza, ma sono arrivata solo fino ad un certo punto, perchè mi interessava solo verificare che realmente funzionava, e poi non conosco il linguaggio basic. Ho anche esteso con excel le quattro tab di ricerca (C5suC5, C7suC5, C7suC7, C5suC7), e la ricerca funziona ed è davvero molto facile!

Riguardo la ricerca dei numeri primi, l’idea è di creare un programma con delle impostazioni tali per cui sulle sole colonne C5 e C7 restino evidenti solo i numeri ricercati all’infinito; riguardo la fattorizzazione credo che le tabelle di riferimento siano necessarie, bisognerebbe vedere qual’è il minimo di colonne utili.

Maria Teresa
Nel libro “L’enigma dei numeri primi” di Marcus Du Sautoy c’è raccontata una piccola sfida: cercare i fattori di 126.619:

Questo numero è in C7 R21103
21103 = 166+997+997+997…. 166 +(997 x 21)
21103 è nella tab C7suC7: risulta sul rigo 166 e su quell rigo c’è il numero 997

126.619 : 997 = 127

127 è in C7 R21
977 è in C7 R166

cercando 21 nei risultati delle due tab di ricerca C7: risulta essere il rigo del numero 127: 127 è numero primo
cercando 166 nei risultati delle due tab di ricerca C7: risulta essere il rigo del numero 997: è numero primo

I due fattori primi di 126.619 sono 127 e 997.  😉

Maria Teresa

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