| Pubblicazione del mio lavoro su Matematicamente Magazine – Numero 3 – Luglio 2007 –
indice – http://www.matematicamente.it/rivista-il-magazine/numero-3-luglio-2007/ Pubblicazione: (41). Percorso alternativo per la ricerca dei numeri primi e per la fattorizzazione – di Maria Teresa Sica – link utili sull’argomento: http://www.matematicamente.it |
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NUMERI PRIMI E FATTORIZZAZIONE: AGGIORNAMENTI
Percorso alternativo per la ricerca dei numeri primi e per la fattorizzazione.
Nel corso di questo anno sono state molte le persone che si sono messe in contatto con me per avere chiarimenti sullo studio, soprattutto i contatti sono aumentati dopo la pubblicazione sul sito www.matematicamente.it.
Su questo sito la mia ricerca è stata letta anche da Edgar J. Deplero, il quale poi mi ha contattata e mi ha elogiata riguardo l’intuizione sulla numerazione dei righi ed il metodo per la fattorizzazione, poi mi ha detto che anche lui aveva fatto studi sul tipo di numerazione a colonne raggiungendo risultati molto interessanti, e mi ha stimolata a continuare ed approfondire il mio lavoro. Ci siamo sentiti regolarmente, lui mi dava delucidazioni anche tecniche (mi ha chiarito che le mie C5 e C7 sarebbero le comuni k-1 e k+1) ed input, spronandomi a lavorare, io gli comunicavo le soluzioni che raggiungevo mano mano. Questi, per adesso, sono gli ultimi risultati dello studio.
Nella “tabella 1” è visibile la disposizione per cui i numeri primi cadono nella colonna 5 o nella colonna 7; tra queste due colonne c’è la colonna 6, dalla quale si può facilmente risalire al rigo, poiché va avanti a salti di 6, dunque il 12 corrisponde al rigo 2, poiché 12:6=2; perciò il 5 ed il 7 si trovano al rigo 2. Quindi si può dire che 1=k, 5=6k-1, 6=6k, 7=6k+1.
Sottraendo 4 da qualunque numero si trovi nella C10 si può ottenere il numero della C6 sullo stesso rigo. A partire da 100, ogni blocco di 300 termina nella colonna 10, perciò 100, 400, 700, 1000, 1400, 1700, ecc. cadono tutti nella colonna 10, dunque sottraendo 4 si raggiunge la C6 e si può identificare il rigo.
16 è il rigo di 100, quindi le 2 colonne C5 e C7 contengono in tutto 16 x 2 = 32 numeri.
perciò
K X 2 = totale numeri nelle due colonne C5(6k-1) e C7(6k+1) fino al k considerato
e siccome tutti i multipli di 6 si trovano in 6k
6k/2 = numero del rigo del 6k considerato (dove si trovano anche i due 6k-1 e 6k+1)
Questi 32 numeri, incrociandosi, danno luogo a molti prodotti, una parte dei quali cadrà nella C5 e nella C7, inoltre alcuni di questi possono risultare da combinazioni diverse, perciò alcuni prodotti risulteranno da più moltiplicazioni. Ne deriva che il numero totale dei prodotti possibili contiene numeri che talvolta si ripresentano, è quindi maggiore rispetto ai numeri effettivamente contenuti nella C5 e nella C7.
Se non si vuole utilizzare, come avevo detto, un programma tipo quelli in basic che, utilizzando le formule già illustrate nelle tabelle “C5 su C7” , “C7 su C5”, “C5 su C5”, “C7 su C7” , cioè le formule (1) e (2) per i righi, oppure le formule (3), (4), (5), (8) e (9) per i numeri, cancella automaticamente con le giuste impostazioni i numeri prestabiliti lasciando evidenti solo i primi all’infinito, allora si possono individuare le posizioni dei multipli nella C5 e nella C7, la quantità dei multipli di ogni numero primo e le posizioni delle eventuali ripetizioni in un blocco da indagare.
il calcolo per individuare le posizioni dei multipli, sia che si considerino i numeri, sia che si considerino i righi è già stato illustrato
(formule 1 – 2 -tabelle “C5 su C7” , “C7 su C5”, “C5 su C5”, “C7 su C7” , per i righi, e formule 3 – 4 – 5, ed anche 8 e 9 per i numeri).
tradotte nel linguaggio giusto diventano:
(r np) + np= x; x + np=xx; xx + np=xxx; …. (1):
[k+(6k-1)]=x; x+(6k-1)=xx; xx+(6k-1)=xxx; …
e [k+(6k+1)]=x; x+(6k+1)=xx; xx+(6k+1)=xxx; …
(np – r np)=y; y + np= yy; yy + np = yyy; ….. (2):
[(6k+1)-k]=y; y+(6k+1)=yy; yy+(6k+1)=yyy; ….
e [(6k-1)-k]=y; y+(6k-1)=yy; yy+(6k-1)=yyy; ….
N1 X N2 (3) – (4):
(6k-1)x(6k+1) contigui + (6k-1)=x; x+(6k-1)=xx; xx+(6k-1)=xxx; …
e (6k-1)x(6k+1) contigui + (6k+1)=y; y+(6k+1)=yy; yy+(6k+1)=yyy; …
aggiungendo 6k-1 si cadrà sempre nella posizione dei multipli dello stesso sulla C5, oppure aggiungendo 6k+1 si cadrà sempre nella posizione dei multipli di quest’ultimo sulla C5, la colonna 6k-1.
N1xN1 (5):
(6k-1)²=x; x+(6k-1)=xx; xx+(6k-1)=xxx; …
e (6k+1)²=y; y+(6k+1)=yy; yy+(6k+1)=yyy; …
si cadrà sempre nella posizione dei multipli dello stesso sulla C7, la colonna 6k+1.
np x N1 (8) e np x N2 (9):
qualsiasi (6k-1) x (6k-1) qualsiasi
e qualsiasi (6k+1) x (6k+1) qualsiasi
cadono sempre in C7
qualsiasi (6k+1) x (6k-1) qualsiasi
e qualsiasi (6k-1) x (6k+1) qualsiasi
cadono sempre in C5.
A questo punto serve individuare quanti multipli di ogni numero primo sono presenti in un blocco da indagare e quali sono le ripetizioni, che sono chiaramente da escludere.
Mettiamo che voglio vedere quanti multipli ci sono fino a 1000 nelle due colonne C5 e C7, conoscendo questo numero posso poi sapere quanti sono i numeri che restano: quanti sono i numeri primi entro il 1000.
Il procedimento è illustrato qui e per la quantità si può guardare qui
Per calcolare i numeri ripetuti in definitiva:
Doppi
sulla C5: da (6k-1)² x 5 ogni (6k-1)² x 6
da 5²x5 ogni 5²x6 = da 125 ogni 150
da 11²x5 ogni 11²x6 = da 605 ogni 726
oppure per i righi da {[(6k-1)² x 5] +1} / 6 e poi si aggiunge sempre (6k-1)²
da [(5²x5)+1/6] ogni 5² = dal rigo 21 ogni 25 righi
da [(11²x5)+1/6] ogni 11² = dal rigo 101 ogni 121 righi
e da (6k+1)² x 5 ogni (6k+1)² x 6
da 7²x5 ogni 7²x6 = da 245 ogni 294
da 13²x5 ogni 13²x6 =da 845 ogni 1014
oppure per i righi da {[(6k+1)² x 5] +1} / 6 e poi si aggiunge sempre (6k+1)²
da [(7²x5)+1/6] ogni 7² = dal rigo 41 ogni 49 righi
da [(13²x5)+1/6] ogni 13² = dal rigo 141 ogni 169 righi
sulla C7: da (6k-1)² x 7 ogni (6k-1)² x 6
da 5²x7 ogni 5²x6 = da 175 ogni 150
da 11²x7 ogni 11²x6 = da 847 ogni 726
oppure per i righi da {[(6k-1)² x 7] -1} / 6 e poi si aggiunge sempre (6k-1)²
da [(5²x7)-1/6] ogni 5² = dal rigo 29 ogni 25 righi
da [(11²x7)-1/6] ogni 11² = dal rigo 141 ogni 121 righi
e da (6k+1) x 5² ogni (6k+1) x (4 x 6k) [4 è il rigo di 25]
da 7×5² ogni 7x(4×6) = da 175 ogni 168
da 13×5² ogni 13x(4×6) = da 325 ogni 312
oppure per i righi da {[(6k+1) x 5²] -1} / 6 e poi si aggiunge sempre (6k+1) x4
da [(7×5²)-1/6] ogni 7×4 = dal rigo 29 ogni 28 righi
da [(13×5²)-1/6] ogni 13×4 = dal rigo 54 ogni 52 righi
Tripli
Sulla C5:
5 x (6k+1) x (6k+1) non uguali
5x7x13
5x7x19
e 5 x (6k-1) x (6k-1) non uguali
5x11x17
5x17x23
sulla C7:
5 x (6k+1) x (6k-1) diverso da 5
5x7x11
5x7x17
5x13x11
Quadrupli
Sulla C5:
5 x (6k-1) x (6k+1) x (6k-1) diversi da 5 e non uguali
5x11x7x17
5x11x13x17
5x17x7x23
sulla C7:
5 x (6k-1) x (6k+1) x (6k+1) diverso da 5 e non uguali
5x11x7x13
5x17x7x13
e 5 x (6k-1) x (6k-1) x (6k-1) non uguali
5x11x17x23
5x11x17x29
e così via, per i prodotti ripetuti 5, 6… volte: bisogna aggiungere un fattore considerando che
C5xC5=C7 – C7xC7=C7 – C5xC7=C5
Per cui un prodotto che cade in C7 moltiplicato per un numero di C7 avrà un risultato in C7, moltiplicato per un numero di C5 avrà un risultato in C5.
Soprattutto per individuarli bisogna osservare i numeri composti da quali primi sono composti: e ci si ricollega alla fattorizzazione!
luglio/agosto 2006 🙂
Maria Teresa Sica
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